No Image

Фигура с бесконечным периметром называется

11 просмотров
21 января 2020

Парадокс маляра́ — математический парадокс, утверждающий, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку, состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое у́же и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см 2 , а общая площадь пластинки бесконечна.

Чтобы всю её покрасить, потребуется бесконечное (по объёму или массе) количество краски. Рассмотрим тело, получаемое при вращении пластинки вокруг её прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2 k−1 см, радиус — 2 1−k см, а значит, его объём равен π ( 2 1 − k ) 2 ⋅ 2 k − 1 = π 2 1 − k <displaystyle pi left(2^<1-k>
ight)^<2>cdot 2^=pi 2^<1-k>> см 3 . Таким образом, объёмы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см 3 .

Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него данную бесконечную пластинку и вытащим; она будет окрашена конечным количеством краски с двух сторон.

Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.

Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 1π см 2 , будет сходиться к конечному значению.

При этом нужно иметь в виду, что предложенное математическое решение не учитывает тот физический факт, что слой краски не может иметь толщину меньше размера одной молекулы краски. Так как построенный описанным способом сосуд будет книзу сужаться до бесконечно малых диаметров, то при «заливке» краски в такой сосуд эта краска просто не «затечёт» в те его области, диаметр которых меньше диаметра молекулы краски. И тем не менее, с точки зрения математической модели, не учитывающей физические аспекты устройства нашего мира, описанное решение является верным, несмотря на парадоксальность.

Возможно, может показаться абсурдным, что сосуд бесконечной длины может иметь конечный объём (в данном случае 2π), да при этом ещё и вмещать в себя пластинку, площадь которой бесконечна. Но дело в том, что длина, площадь и объём — это разные величины. В математических моделях вполне возможны фигуры, имеющие бесконечную площадь при конечном объёме (или бесконечную длину при конечной площади).

Читайте также:  Autohold на тигуане что это

А. Панов,. Малярный парадокс // Квант. — 1986. — № 8 . — С. 13 .

Это — материал о парадоксах.
Это — материал из Википедии.

Парадокс маляра́ — математический парадокс, утверждающий, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку, состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 x 2 см, а каждый следующий вдвое у́же и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см 2 , а общая площадь пластинки бесконечна.

Чтобы всю её покрасить, потребуется бесконечное (по объёму или массе) количество краски. Рассмотрим тело, получаемое при вращении пластинки вокруг её прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2 k − 1 <displaystyle 2^> см, радиус — 2 1 − k <displaystyle 2^<1-k>> см, а значит, его объём равен 2 1 − k π <displaystyle 2^<1-k>pi > см 3 . Таким образом, объёмы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2 π <displaystyle 2pi > см 3 .

Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него данную бесконечную пластинку и вытащим; она будет окрашена конечным количеством краски с двух сторон.

Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.

Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 1 см 2 , будет сходиться к конечному значению.

Не путай площадь поверхности с длиной, и одномерный случай с трехмерным. В одномерном случае аналога площади не существует, существует аналог объема, и он действительно конечен. Вроде он даже 0. Аналог площади существует только в двумерном случае, это – длина границы.
Площадь поверхности для каждой итерации можно посчитать. Нулевая итерация – просто куб. Площадь куба, допустим, S. Площадь грани – s = 1/6S. На первой итерации мы делим куб на 27 одинаковых кубов со стороной в 3 раза меньше исходного, и удаляем из них 7 кубов, один куб в центре, и шесть штук у каждой грани. Посчитаем площадь. Площадь каждой грани исходного куба уменьшилась на 1/9, то-есть стала 8/9s, но добавились площади по 1/9s у каждой грани по 4 штуки. Т.е. площадь поверхности первой итерации стала:
(8/9*6 + 1/9*4*6)s = 12/9*6*s = 12/9S = 4/3S
Как видно, после первой итерации площадь возросла на 1/3S. На следующей итерации с каждым оставшимся кубом сделаем то же самое, что и с исходным – разделим на 27 штук в три раза меньших кубов и удалим из них 7 штук. Площадь грани каждого из этих кубов будет s/9(кубы первой итерации), и возрастет вследствие удаления на(для каждого оставшегося куба первой итерации):
(1/9)*(s/9)*4*6= 24/81s, а самих кубов, с которыми мы это сделаем, будет 20, итого вследствие удаления площадь возрастет на 480/81s. Кроме того, площадь уменьшится за счет вырезания 1/9 из оставшихся граней каждого куба, для "угловых" кубов(которых 8) это будет 8*(3*1/9*s/9) = 24/81s, а для всех оставшихся "реберных" кубов(которых 12) это будет 12*(4*1/9*s/9) = 48/81s.
Получается, что на второй итерации мы получили добавку площади в 480/81s и убыль в 48/81s + 24/81s, итого добавилось 480/81s – (48/81s + 24/81s) = 408/81s = 136/27s = 216/81S.

Читайте также:  Проверить свой штраф гибдд

Площадь второй итерации 216/81S + 4/3S = 324/81S = 4S
Площадь возросла в:
4 : 4/3 = 3 раза по сравнению с первой итерацией.

Это на примере, а если попытаться обобщить? Допустим, на итерации n у нас имеется Kn цельных кубиков (на нулевой – 1, на первой – 3*3 – 7 = 20, и т.д.) и Pn граней этих кубиков. Площадь грани равна Fn. Тогда площадь всей фигуры – Sn = Fn*p. Что же будет на следующей итерации? Каждая грань разделяется на 9 новых, площадь каждой из которых будет Fn/9, при этом удаляется центральная, итого, новых граней буде 8 на каждую старую грань. Кроме того, из каждого старого кубика вырубается 7 новых, образуя 6*4=24 новых грани(6 граней куба, в каждой дыра из четырех граней). И, наконец, каждый старый кубик разделяется на 27 новых кубиков, из которых 7 удаляется, итого 20 штук на кубик. Получаем следующие рекуррентные формулы для параметров следующей итерации:

Fn = Fn-1 / 9 — Площадь грани.
Bn = Bn-1 / 27 – Объем одного кубика
Kn = Kn-1 * 20 — Количество кубиков.
Pn = Pn-1 * 8 + Kn-1 * 24 — Количество граней.
Sn = (Pn-1 * 8 + Kn-1 * 24) * Fn-1 / 9 — Площадь поверхности.
Vn = Kn * Bn

Или так, если Fo = s = S/6, Ko = 1, Po = 6, So = S, Vo = Bo = V:
Количество граней выводится в явном виде путем нехитрых(Ну как, нехитрых, я пока все ошибки заловил, 6 страниц тетрадки исписал) манипуляций с последовательностями и их суммой:

Fn = s/(9^n) — Площадь грани.
Bn = V/(27^n) – Объем одного кубика
Kn = 20^n — Количество кубиков.
Pn = 2^(2n+1) * (2^(n+1) + 5^n) — Количество граней.
Sn = Pn * Fn — Площадь поверхности.
Vn = Bn * Kn – Объем фигуры

Как не трудно видеть, площадь одной грани убывает как функция 9^n, в то время как количество граней возрастает быстрее, чем функция 20^n, следовательно, Площадь в целом возрастает как (20/9)^n, что больше, чем (18/9)^n = 2^n. Т.е. площадь с каждой итерацией растет быстрее, чем степень двойки.
А объем, например, одного кубика уменьшается как 27^n, в то время как количество кубиков растет, как 20^n, так что суммарный объем уменьшается как (20/27)^n, а эта последовательность при стремлении n к бесконечности стремится к нулю.
Такие дела.

Комментировать
11 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Автомобили
0 комментариев
No Image Автомобили
0 комментариев
No Image Автомобили
0 комментариев
Adblock detector